2006.7

D-Aコンバータの高域特性を改善する 高域特性劣化のメカニズムと3つの対応策 一般に、D-Aコンバータの周波数特性は、帯域内であっても平坦ではなく、高域に向かうほど減衰してしまう。本稿では、帯域内で平坦な特性を保つための3つの方法を紹介する。 Ken Yang　米Maxim Integrated Products社

Advertisement 　D-Aコンバータの周波数特性を正しく把握して使用しているだろうか。一般に、D-Aコンバータの周波数特性は平坦ではない。帯域内（サンプリング周波数の1/2以下）であっても、高域側に行くに連れ、アナログ出力信号の振幅が減衰してしまう（図1）。例えば、サンプリング周波数をfSとすると、fS/2の80％の周波数信号では、出力振幅が2.42dBも減衰する。このことは、帯域内では平坦な周波数特性が必要となるアプリケーションでは問題となってしまう。 　では、この問題を回避するにはどうすればよいのか。それには、以下に示すようないくつかの手法を用いることができる。 図1　D-Aコンバータの周波数応答は、高域になるほど減衰してしまう。 【対策1】サンプリング周波数を上げる 【対策2】プリイコライゼーションフィルタで補正する 【対策3】ポストイコライゼーションフィルタで補正する 　以下では、これらの方法を順に紹介していくが、その前にまず「なぜ上述した問題が発生するのか」というところから押さえておこう。 D-Aコンバータの理想と現実 　D-Aコンバータの周波数特性が平坦にならない理由を理解するには、まず最初に理想的なD-Aコンバータと現実のD-Aコンバータの違いを認識する必要がある。 　図2をご覧いただきたい。これは、D-Aコンバータの出力を時間領域、周波数領域で表したものだ。理想的なD-Aコンバータの出力は、図2（a）のように、時間領域では電圧インパルス列となる。これを周波数領域で見ると、理想的なD-Aコンバータ出力が得られていることになる（図2（b））。 図2　理想的なD-Aコンバータでは、時間領域における出力は電圧インパルス列となる（a）。これを周波数領域で見ると（b）のようになる。しかし、実際のD-Aコンバータの出力は時間領域で見ると階段状であり（c）、これを周波数領域で見ると（d）のようになる。 　しかし、実際のD-Aコンバータの出力は図2（c）のような階段状の信号である。すなわち、ある出力電圧が更新レート（1/fS）の間だけ保持され、次の更新レートの開始時に次の出力電圧に切り替わる仕組みになっている。このような保持処理のことを「0次ホールド」と呼ぶ。この0次ホールドの影響により、実際のD-Aコンバータの出力を周波数領域で見ると、高域側の振幅が減衰してしまう（図2（d））。この現象を「アパーチャ効果（aperture effect）」と呼ぶ＊1）。 　アパーチャ効果により、D-Aコンバータの出力信号振幅は、理想的なD-Aコンバータ出力に、sin（x）/xを乗じたものとなる。このsin（x）/xという関数は、デジタル信号処理の世界では「sinc関数」としてよく知られている。sinc関数は、x＝πf/fSとおくと、以下の式で表すことができる。 　 アパーチャ効果により、sinc関数の包絡線に沿って、主信号だけでなく、折り返し信号（イメージ信号）も大きく減衰する（図3）。この図からわかるように、アパーチャ効果の影響で、D-Aコンバータの出力ゲインはfS付近でゼロに近づく。同様に、2fS付近でもゼロに近づく。つまり、D-Aコンバータ出力の減衰パターンは、その更新レート（1/fS）に依存する。また、減衰量が−0.1dB以内に収まる範囲は約0.17fNYQUISTまでとなる。ここで、fNYQUIST＝fS/2であり、この周波数を「ナイキスト周波数」と呼ぶ。 図3　D-Aコンバータの出力を周波数領域で表すと、本来の信号以外に、ナイキスト周波数以上の部分に多くの折り返し信号（イメージ信号）が発生する。イメージ信号も、アパーチャ効果によって減衰する。 　ここで、D-Aコンバータの基本を振り返ってみよう。 　D-Aコンバータでは、入力信号が1つのインパルスであった場合、その出力は1/fS周期で更新されるパルス列となる（インパルス応答）。D-Aコンバータの周波数応答は、このインパルス応答をフーリエ変換することで得ることができる＊2）。 　帯域内のデジタル入力信号をD-A変換すると、それに対応する主信号のほかに、イメージ信号が現れる。1つ目のイメージ信号は、fS/2とfSの間に現れるが、fS以上の領域にも同様に繰り返し現れる。これらは通常、アナログローパスフィルタによって除去・減衰させなければならない。このローパスフィルタは、「再構成フィルタ（reconstruction filter）」とも呼ばれる。これはA-Dコンバータを使用する際に用いられる「アンチエイリアシングフィルタ」と対を成すものだともいえよう。 　最初に現れるイメージ信号は、その周波数をfIMAGE、主信号の周波数をfOUTとすると、fIMAGE＝fS−fOUTとなる。例えば、主信号の周波数fOUTが0.8fNYQUISTである場合、fIMAGE＝1.2fNYQUISTとなり、それらの周波数の間には0.4fNYQUISTだけしか差がない状態となる。先述したように、イメージ信号は再構成フィルタで除去しなければならないわけだが、実際にはこのような条件でもイメージ信号を除去できるような再構成フィルタを実現するのは困難である。言い換えれば、D-Aコンバータで扱う最大信号周波数をナイキスト周波数よりも下に設定しなければ、現実的には再構成フィルタを設計することができない。一般的には、D-Aコンバータで扱う最大信号周波数は、ナイキスト周波数の80％程度に設定することが多い。 　しかしながら、0.8fNYQUISTでは、アパーチャ効果により、出力信号振幅が実に2.42dBも減衰してしまう。この減衰量は、平坦な周波数応答を要するアプリケーションでは許容できない。例えば、減衰量が−0.1dB以内に収まっていなければならないとすると、この条件が満たされているのは、0.8fNYQUISTよりもさらに下の約0.17fNYQUISTまでである。この例であれば、振幅特性が平坦な周波数領域を0.8fNYQUISTまで広げるために、アパーチャ効果の影響を抑える方策が必要となるわけだ。 【対策1】サンプリング周波数を上げる 　それでは、アパーチャ効果の問題に対する1つ目の対策を紹介しよう。D-Aコンバータの出力信号の減衰は、その更新レート（サンプリング周波数）に依存する（図3）。そのため、入力信号の帯域幅は変更せず、単にサンプリング周波数を上げれば、アパーチャ効果の影響を最小限に抑えて帯域内の周波数特性を平坦に保つことができる。 　D-Aコンバータのサンプリング周波数を上げることのメリットは、アパーチャ効果の影響を抑えられることだけではない。それ以外にも、量子化ノイズによって発生するノイズフロアーを低減し、再構成フィルタに対する要求を緩和できるというメリットもある。先ほども触れたように、再構成フィルタで厳しい要求を実現するのは困難であるため、このことも非常に大きなメリットとなる。 　その一方で、サンプリング周波数を上げることには、以下のような問題点がある。 ●一般に高速なD-Aコンバータは高価であるため、コストが増大する ●消費電力が大きくなる ●より高速なデータ処理が必要になる 　こうした問題点はあるものの、上述したメリットを優先して、多くのメーカーはサンプリング周波数を上げる方法を採用している。ただし、単純にサンプリング周波数を上げるのではなく、多くの場合、以下で紹介する「補間手法」も併用するケースが多い。 　ここでいう補間手法とは、D-Aコンバータの入力となる本来のサンプリングデータ列に、演算で求めたデータを挿入する処理のことだ。サンプルデータ列において、隣り合う2つのデータの間に、それらの間に存在するにふさわしいデータを新たに追加するのである。通常、この処理はデジタルフィルタを用いて実現する 　例として、隣り合う2つのデータの間に1つのデータを挿入するデジタルフィルタを考えてみよう。この場合、総サンプルデータ数は元の2倍に増加する。これは、サンプリング周波数を2倍にしたのと等価的な処理だといえる。従って、D-Aコンバータは、2倍の速度で更新を行わなければならないことになる。 　次に、8倍の補間を実現するために3つの補間段を持つデジタルフィルタを考えてみよう（隣り合う2つのサンプルデータの間に、合計7個のデータを追加する）。この場合、D-Aコンバータは、本来のサンプリング周波数の8倍の更新レートで変換を行わなければならない＊3）。しかし、この処理によって、アパーチャ効果によるsinc関数の周波数応答にも変化が起き、それがもう1つのメリットを生む。サンプリング周波数を上げない状態では、最初に出力ゲインがゼロになるのはfSのポイントだったが、サンプリング周波数を8倍に上げることにより、1つ目の減衰ポイントが8fSになり、平坦度が保たれる領域も8倍に広がる。これにより、再構成フィルタに対する要件がさらに軽減される。このメリットは非常に大きい。 　なお、ここで紹介した方法は、ΔΣ変調や補間型デジタルフィルタを組み合わせて実現される「オーバーサンプリング型のD-Aコンバータ」でよく採用されている。つまり、オーバーサンプリング型のD-Aコンバータを使用している場合、アパーチャ効果はほとんど問題にならないであろう。 【対策2】プリイコライゼーションフィルタで補正する 　上述したとおり、サンプリング周波数を上げると、アパーチャ効果の影響は軽減される。しかしながら、その影響を完全になくすことはできない。また、この方法の場合、D-Aコンバータを数倍高速に動作させることになる。従って、「D-Aコンバータの動作周波数はこれ以上、上げられない」という条件の下、アパーチャ効果の影響をさらに改善したければ、別の方法を選択せざるを得ない。 　ここでは2つ目の対策として、周波数応答が逆sinc関数となるデジタルフィルタを使用する方法を紹介しよう。 　逆sinc関数とは、1/sinc（x）で表される関数である。理論的には、そのようなフィルタを「プリイコライゼーションフィルタ」として用いれば、sinc周波数応答の影響を完全に打ち消し、完全に平坦な周波数応答を得ることができる。プリイコライゼーションフィルタは、デジタル入力データをフィルタリングし、D-Aコンバータにデータを送る前に高域の振幅を上げておくという役割を果たす。このようにすることで、アパーチャ効果の影響のない状態で元の信号を再現することが可能になる（図4）。 図4　プリイコライゼーションフィルタ（デジタルフィルタ）は、アパーチャ効果の影響を打ち消す（a）。ポストイコライゼーションフィルタ（アナログフィルタ）を用いても同様の効果を得ることができる（b）。 図5　逆sinc関数のDCからfS/2までの間のサンプリングを行うことにより、プリイコライゼーションフィルタの設計が可能。 　このデジタルフィルタの実現方法は任意だが、IIR（infinite impulse response：無限インパルス応答）型のものではなく、群遅延が発生せず、設計が比較的容易なFIR（finite impulse response filter：有限インパルス応答）型のものを用いるとよいだろう。 　逆sinc関数を実現するFIRフィルタの設計には、周波数サンプリング手法（frequency-sampling techniques）を利用する。例えば、fS/2までの信号を扱いたい場合であれば、周波数応答H（f）におけるDCからfS/2までの間の値をサンプリングして求めればよい（図5）。次に、逆フーリエ変換によって、周波数サンプルポイントH（k）を時間領域におけるインパルス応答に変換する。インパルス応答係数は、以下に示すどちらかの式で表すことができる。 　 ここでH（k）（k=0, 1, ... N-1）は理想的な（あるいは目標とする）周波数応答を表す。また、h（n）（n=0, 1, ... N-1）は、時間領域におけるH（k）のインパルス応答の値であり、α＝（N−1）/2である。正対称の線形位相FIRフィルタでNが偶数の場合、式(3)を用いてh（n）を単純化することができる。また、Nが奇数の場合には、総和の上限値は（N−1）/2となる＊1）。 　H（k）のサンプルポイント数（N）を増やすと、周波数応答は目標とするものに近づく。逆にH（k）のサンプルポイント数が少なすぎると、フィルタの効果が薄れてしまい、目標とする周波数応答から大きく外れてしまう。とはいえ、フィルタのサンプルポイント数が多すぎると、処理能力の高いデジタル回路が必要となってしまい、それもまた問題となる。最良な方法は、以下のようなものになるだろう。 図6　FIRフィルタにより、D-Aコンバータの周波数特性が改善され、ナイキスト周波数付近まで−0.1dB以内の平坦度が保たれる。 (1)まずNとして大きな値を用いてh（n）を計算する (2)得られた値の中から、いくつか数を絞ってh（n）を切り出す (3)切り出したh（n）に窓関数（window function）を適用して平滑化する 　ここでは、N=800としてh（n）を計算し、そこからh（n）を100点のみ切り出してブラックマン窓関数を適用した例を示すことにする。このようにして設計したFIRフィルタとD-Aコンバータを組み合わせた場合、ナイキスト周波数の約96％まで、−0.1dB以内の平坦度が保たれた周波数応答が得られる（次ページの図6）。補正を行っていないD-Aコンバータでは、−0.1dB以内の平坦度はナイキスト周波数のわずか17％までしか保たれないので、大きく改善していることになる。 　インパルス応答を基に係数を得ると、以下のように、標準的なデジタル信号処理手法である畳み込み（convolution）によってFIRフィルタを実現することができる（x（n）は入力信号データ）。 　なお、逆sinc関数を実現するフィルタは、高域上がりの周波数特性を持ち、その部分のゲインは1以上となる。従って、フィルタの出力振幅がD-Aコンバータの最大許容入力レベルを超えないように注意する必要がある。具体的には、問題が起きないレベルまで信号振幅を減衰させておかなければならない。入力信号の振幅を下げるため、sinc関数のフィルタを使用して補正を行う場合、補正を行わないD-Aコンバータよりもダイナミック特性が劣ることになる。 　ここで、プリイコライゼーションフィルタによる補正を行う場合のSN比（信号対雑音比）の求め方を示しておこう。 　一般に、出力ノイズは、DC付近から再構成フィルタのカットオフ周波数までのノイズパワー密度を積分することによって得られる。しかし、多くのD-Aコンバータメーカーは、以下のようにナイキスト周波数までのノイズを積分し、再構成フィルタを用いない状態でのSN比を求める方法を採用している。 　この式において、NCはプリイコライゼーションフィルタによる補正済みのD-Aコンバータの総ノイズパワー（または電圧）である。また、nQ（f）はD-Aコンバータの出力ノイズ密度であり、この値は量子化ノイズと熱ノイズによって決まる。 　補正済みのD-Aコンバータの最大SN比は一定で、周波数には依存しないが、以下のように最大出力周波数に依存する。 　なお、式中のVREFは、D-Aコンバータの基準電圧、VOCは出力振幅を表す。 　一方、補正を行わないD-Aコンバータの信号振幅は、sinc関数に沿って減衰した結果、以下のようになる。 　補正を行わないD-Aコンバータのノイズパワーは、補正済みのD-Aコンバータのそれと同じである。従って、補正を行わないD-Aコンバータの最大SN比は以下のようになる。 　また、補正済みのD-AコンバータのSN比の劣化分は、式(6)と(8)から得ることができる（以下参照）。 　この式からわかるように、補正済みのD-AコンバータのSN比は周波数が低いほど劣化する。 【対策3】ポストイコライゼーションフィルタで補正する 　アパーチャ効果の影響を回避するもう1つの方法は、周波数応答が逆sinc関数にほぼ等しいアナログフィルタを追加することである。このような「ポストイコライゼーションフィルタ」は、伝送線やアンプの補正によく使用されている。その手法を、アパーチャ効果の影響の削減に適用できる。 　ポストイコライゼーションフィルタは、D-Aコンバータの再構成フィルタの後に挿入する。ここでは、簡単なアクティブフィルタを使用する例を示すことにしよう。 　図7に示す例では、与えられた帯域幅に対して、ポストイコライゼーションフィルタの周波数応答がD-Aコンバータのsinc関数の周波数応答を打ち消すように、R1、R2およびC1の値を決定してある。この回路の場合、最大ゲインは1＋R1/R2となる。周波数応答の平坦度を最適化する際には、SPICEシミュレーションを利用するとよいだろう。 図7　簡単なアナログフィルタ（a）により、アパーチャ効果の影響を低減し、ナイキスト周波数の50％まで−0.1dB以内の平坦度を保つことができる（b）。 　典型的なポストイコライゼーションフィルタでは、ナイキスト周波数の50％以上まで−0.1dB以内の平坦度が保たれる。ポストイコライゼーションフィルタを使用しない場合、ナイキスト周波数の17％までしか−0.1dB以内の平坦度は得られないので、その効果は大きいといえよう。 　補正しないD-Aコンバータのノイズが量子化ノイズのみであると仮定すると、アパーチャ効果により、出力信号とノイズの両方が減衰する。一方、ポストイコライゼーションフィルタを使用すると、高域になるほどノイズも増幅することになる。そのため、D-AコンバータのSN比にも影響が現れる。 　補正済みのD-Aコンバータと補正を行わないD-Aコンバータの出力ノイズは、以下のようにDC付近からfNYQUISTまでのノイズパワーを積分することにより得られる。 　ここで、H（f）はポストイコライゼーションフィルタの周波数応答、nQ（f）はノイズパワー密度、nQOはDC付近の減衰していない量子化ノイズ密度、NCおよびNUは、それぞれ補正済みのD-Aコンバータおよび補正を行わないD-Aコンバータの総ノイズ電力である。最大SN比は基準電圧VREFで正規化されるので、補正済み、補正なしのD-AコンバータのSN比は、それぞれ以下のようになる。 　また、以下のように両SN比の比をとることで、補正を行わない場合と補正を行った場合とで、SN比がどのように変化するのかを求めることができる。 　この式から、補正済みD-Aコンバータの最大SN比は、低周波領域では劣化するものの、高周波領域においては向上することがわかる。 　なお、ここまでの説明では、D-Aコンバータの再構成フィルタは理想的なローパスフィルタであると仮定し、その周波数特性はナイキスト周波数まで平坦で、その後急峻にゼロになるものとしている。しかし、実際の再構成フィルタの周波数特性は、カットオフ周波数近くでいくらか劣化する。プリイコライゼーションフィルタ、ポストイコライゼーションフィルタを用いる手法を採用した場合、この再構成フィルタの周波数特性の改善が行えるというメリットもある。

用語解説 / 会社情報 ＊1） Ifeachor, Emmanuel C and Barrie W Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach, Second Edition, Addison-Wesley, 1993. ▲本文へ戻る ＊2） Nilsson, James W and Susan Riedel, Electric Circuits, Fifth Edition, Addison-Wesley, 1996. ▲本文へ戻る ＊3） "MAX5895 data sheet," Maxim Integrated Products, www.maxim-ic.com. ▲本文へ戻る