tanθ変換で雑音の帯域幅を計算
「周波数帯域幅」という用語を使うときはたいてい、「－3dB」という前提を含んでいる。ほとんどの場合、信号電力が半分に低下する周波数までで、帯域幅を定義しているからである。実際には、帯域幅の外側にも信号電力が存在している。
一方、雑音の周波数帯域幅Δfは、実際の周波数範囲である。ほとんどの場合、雑音は電力ではなく電圧で記述する。周波数帯域幅Δfを表現する式は電圧利得で書き直すと便利である。
ここでAV（f）は電圧利得、AVOはピーク利得である。積分範囲は－3dBの周波数よりも広いので、雑音の周波数帯域幅は常に、信号の周波数帯域幅よりも大きくなる。
例題として、単一極の低域通過フィルターを考えよう。
ここでfcは－3dBコーナー周波数である。電圧利得の絶対値は、周波数の関数として次式で与えられる。
従って雑音の周波数帯域幅は次式で表現できる。
ただし式④では無限大まで積分しなければならず、時間がかかり過ぎる。自分の寿命が尽きないうちに解を得たいと考えるのが普通だろう。そこで近似を利用する。変数を次のように変換すれば、簡単な計算で正確な解を得られる＊A-1）。
こうすると、積分範囲が0からπ/2に変わる。式⑤および式⑥を式④に適用すると、次式が得られる。
三角関数の公式sec2θ=1＋tan2θを使うと、式⑦は簡単に計算できる。
この式から、雑音の周波数帯域幅は信号の周波数帯域幅よりもπ/2倍だけ大きいと分かる。変数を変換するこの手法は、ほかのフィルターにも適用できる。例えば1対のフィルターをバッファーで接続して相互作用を防ぐ場合がある（図A-1）。このフィルターの利得関数は次式で与えられる。
これを単一極の場合と比較すると、フィルターの雑音周波数帯域幅は次式のようになる。
変数を同様に変換すると、厳密な解を得られる。
ただし遮断周波数fCは、個々の極の－3dBコーナー周波数であり、フィルター全体の－3dBコーナー周波数ではないことに注意する。ここでシステムの周波数帯域幅fSと、システムの雑音周波数帯域幅を次式で計算できる。
式⑪と式⑬を組み合わせると、次の結果を得られる。
テスト・ベンチで雑音を測定するときは、被測定機器とテスト装置、それから両者のインターフェース回路の遮断周波数特性に注意を払う必要がある。測定する周波数帯域幅と遮断特性を支配する要因を把握すれば、雑音の帯域幅を正確に計算し、計算結果を適切に解釈できる。測定系のそのほかの部分については、遮断周波数が測定周波数帯域よりも十分に高いことを確認しておかなければならない。またテスト装置とインターフェース回路による雑音フロアについても、考慮しておく必要がある。
|
| ▲本文へ戻る |
